http://www.scribd.com/doc/23350642/Respuesta-81?secret_password=n3959e0t3m83phagk8j

Problema
81.

Se
trata de resolver la ecuación diferencial de variables
separables siguiente.

La separación
de variables involucra dejar los términos correspondientes a
la variables independiente agrupados de un sólo lado y los
correspondientes a la variables dependiente agrupados al otro lado
del símbolo de igualdad. Así que el procedimiento con
la ecuación diferencial a resolver se inicia pasando el
término con la diferencial de la variable independiente al
lado derecho y con ello se obtiene:

Separando las
variables se tiene:

Lo cual puede
integrarse:

Estas
integrales son la misma. Entonces puede resolverse una y se tiene la
solución de la otra. Para ello se define un triángulo
donde uno de los catetos tiene como dimensión la variable
falsa z y el otro cateto tiene una dimensión unitaria. Con
ello la hipotenusa tiene un valor de
y
la función
puede
establecerse como la relación del cateto con dimensión
unitaria y de la hipotenusa, y si se define que el cateto de
dimensión unitaria es el adyacente entonces tendríamos
la función coseno del ángulo al que llamaremos Θ
y nuestras integrales se transforman en:

Y
utilizando la identidad trigonométrica
se
obtiene:

Y
recordando que:

Entonces:

Con
lo cual nuestra ecuación queda:

Y
recordando la identidad de las funciones trigonométricas
circulares inversas:

se
tiene que la solución de la ecuación diferencial se
puede expresar como:

A
lo cual podemos aplicar la función tangente y recordar que la
tangente de una constante es aún una constante para alcanzar
la función final.

Lo
cual es la solución final que satisface la ecuación
diferencial que se requería resolver. Aquí se observa
que para que esta solución tenga sentido, el producto de las
variables dependiente e independiente no puede ser 1, ya que eso
haría que la función se volviera indeterminada y no
sería ya una solución viable.